脑电非线性分析：熵与复杂度

一、为什么脑电需要非线性分析

前面所有方法有个共同默契：把脑电近似成线性系统 + 平稳噪声。 这个近似在很多场景下够用，但大脑的真实身份是非线性动力学系统： 神经元发放有阈值、振荡来自极限环、皮层活动甚至带混沌特征。 只用尺子量一座山，永远得不到它的分形维数——线性方法只是观察大脑的一扇窗， 这一课我们打开另一扇。

非线性指标回答两类线性方法够不着的问题： "这段信号多难预测？"（熵家族）与 "这段信号含多少新模式？"（复杂度家族）。 它们不依赖任何频段假设——你可以对宽带的原始信号直接计算。

二、相空间重构：从一段录像推断三维运动

问题在于：我们只有一两个电极的记录，而系统的真实状态变量有亿万个。 Takens 嵌入定理给了个惊人的答案：把单通道信号按固定延迟 τ 复制成 m 列（x(t), x(t+τ), x(t+2τ), …），用它们当坐标， 重构出来的吸引子在拓扑意义上与真实系统等价。 类比：你只有一台固定机位的摄像机拍广场上跳舞的人（单通道录像）， 却能从这盘录像重建出整个舞蹈的空间结构。

本课的熵与 LZC 其实不需要显式做相空间重构，但这个图景解释了一件根本的事： 单通道信号里确实藏着系统的高维结构，非线性指标就是在读它。 嵌入参数（τ 用互信息第一极小值、m 用伪最近邻法）的细节，等做真正的 非线性动力学分析（如关联维数、Lyapunov 指数）时再展开。

三、熵家族：从近似熵到样本熵

熵家族的核心问题：在一段信号里，找到"似曾相识"的短模板有多容易？ 规律信号（正弦、周期波）里到处是相似片段 → 熵低；随机信号几乎找不到相似片段 → 熵高。 药物麻醉后的大脑更规律 → 熵下降，直觉完全对得上。

• 近似熵 ApEn：把信号切成所有长度 m 的小模板，数"任意两段足够相似"的概率 B， 以及"再多比一个点仍相似"的概率 A，ApEn ≈ −ln(A/B)。缺点：它把每段模板和自己也比了一遍（自匹配必然相似），系统性抬高了熵值；
• 样本熵 SampEn：同样的公式，但不与自己比、不重复计数，修正了自匹配偏差，对数据长度也更稳健——现在的默认选择；
• 模糊熵：把"像不像"的硬阈值换成连续的隶属函数，边界不再非黑即白，对噪声更稳定。

参数惯例：m = 2（模板长度）， r = 0.1–0.25 × 信号标准差（相似容差）。 r 太小找不到相似模板、r 太大什么都相似——两个极端都会毁掉指标。

四、复杂度：Lempel-Ziv 与多维 LZC

LZC（Lempel-Ziv 复杂度）换个角度问问题：把信号按阈值二值化成一串 0/1， 从左到右读过去，出现了多少个"第一次见到的新片段"？ 像读一本书时统计"没见过的词组"有多少——流水账的新词组很少（复杂度低）， 好诗的新词组层出不穷（复杂度高）。

原始计数 c(n) 随长度增长，不同长度的数据没法直接比，所以用 c(n)·log₂(n)/n 归一化：纯随机序列趋于 1，完全规则序列趋于 0， 真实脑电落在中间——而且落点有生理意义。

多维 LZC（msLZC）把多个通道联合起来：每个通道按各自阈值二值化后， 每个时刻的多通道取值拼成一个符号（比如 4 通道 → 16 种符号）， 再对这串符号数新模式。它衡量的是空间-时间的联合复杂性—— "不同脑区在同一时刻的组合方式有多丰富"，这正是意识水平研究的核心变量。

五、Matlab 实现：样本熵

function se = sample_entropy(x, m, r)
% 样本熵 SampEn = -ln(A/B)
%   B：任意两段长度 m 的子序列"足够像"的比例
%   A：它们再多比一个点（长度 m+1）仍然"像"的比例
% 与 ApEn 的关键差别：不拿子序列与自己比（自匹配会给 ApEn 带来偏差）
x = x(:)';
n = numel(x);
if std(x) == 0, se = NaN; return; end      % 平线信号无法定义熵
B = 0;  A = 0;
for i = 1:(n - m)
    for j = (i+1):(n - m)                  % 只数 i < j 的对：避免重复与自匹配
        if max(abs(x(i:i+m-1) - x(j:j+m-1))) <= r
            B = B + 1;                     % 长度 m 的模板对相似
            if max(abs(x(i:i+m) - x(j:j+m))) <= r
                A = A + 1;                 % 长度 m+1 仍相似
            end
        end
    end
end
if B == 0 || A == 0
    se = NaN;                              % 数据太短或容差太小：找不到相似模板
    return;
end
se = -log(A / B);
end

% 用法（惯例参数 m=2, r=0.2 x SD）：保存为 sample_entropy.m 后调用
seg = EEG.data(10, 10000:50000);           % 某通道一段约 40 秒的数据
se  = sample_entropy(seg, 2, 0.2 * std(seg));
fprintf('样本熵 = %.4f\n', se);

六、Matlab 实现：LZC

function lz = lempel_ziv_complexity(x)
% LZC：二值化 → 从左到右解析出"新模式"个数 → 归一化
% 直觉：把信号读成 0/1 串，统计"第一次出现的新片段"有多少
s   = (x(:)' > median(x));            % 二值化：中位数阈值对幅值分布稳健
str = char(double(s) + '0');          % 转字符串，用 strfind 判断子串是否出现过
n   = length(str);
c   = 1;                              % 第一个字符必然是第一个模式
pos = 1;  len = 1;                    % pos：已解析长度；len：当前测试段长度
while pos + len <= n
    if ~isempty(strfind(str(1 : pos+len-1), str(pos+1 : pos+len)))
        len = len + 1;                % 测试段在历史中出现过 → 再延长一位
    else
        c   = c + 1;                  % 新模式！
        pos = pos + len;              % 解析进度推进
        len = 1;
    end
end
if len > 1
    c = c + 1;                        % 末尾未完成的段也计为一个模式
end
lz = c * log2(n) / n;                 % 归一化：随机序列趋于 1，规则序列趋于 0
end

% 快速自检：三种典型信号的复杂度应当拉开差距（保存函数后运行）
fs = 500;  t = (0:1/fs:60)';
pure  = sin(2*pi*10*t);                          % 规则正弦
mixed = sin(2*pi*10*t) + 0.5*sin(2*pi*40*t);     % 两个规则成分叠加
noise = randn(size(t));                          % 随机噪声
fprintf('正弦 LZC=%.3f  混合 LZC=%.3f  噪声 LZC=%.3f\n', ...
        lempel_ziv_complexity(pure), ...
        lempel_ziv_complexity(mixed), ...
        lempel_ziv_complexity(noise));
% 预期顺序：正弦 < 混合 < 噪声（规则性越低，复杂度越高）

七、应用场景与临床价值

• 意识障碍：植物状态 / 最小意识状态患者的静息态熵与复杂度显著低于健康人，多维 LZC 已被用于辅助诊断与预后判断——这是非线性指标最成功的临床故事；
• 麻醉深度：麻醉下熵持续下降，商业麻醉深度监测仪的思路与此同源；
• 发育与老化：儿童 EEG 熵随年龄增长而升高（大脑精细化），老年人大脑复杂度下降（"去分化"假说）；
• 精神疾病：精神分裂症、抑郁研究的常用结局指标之一。

八、注意事项与报告规范

1. 数据长度：SampEn 需要足够长才能找到相似模板（经验上数千点起步）；LZC 也对长度敏感——组间比较必须等长；
2. 采样率一致：不同采样率下的熵与复杂度不可直接比较；
3. 频带要说明：宽带原始信号与窄带滤波后的熵含义不同，报告时写清楚用了什么滤波；
4. 参数要报全：m、r（及是否按 SD 归一化）、二值化阈值、数据长度；
5. 只在同一套参数内比较：非线性指标的绝对值没有跨研究的"正常值"。